\section{牛顿第二定律}\label{sec:03.02}

牛顿第一定律确立了不受力情况下物体的运动性质。本节讨
论牛顿第二定律，它确立了外力对物体运动的作用。这个定律是：
如果一个质点受到外界物体的作用，则它的运动遵循下列关系：
\begin{equation}\label{eqn:03.02.01}
  \vec{F} = m \vec{a}
\end{equation}
其中$\vec{a}$是质点的加速度，$m$是它的质量；$\vec{F}$是外物对它的作用力。

在此定律中，我们一下子涉及了两个新的物理量：$m$及$\vec{F}$。虽然
在上节讨论过力，但只限于受力或不受力，并没有给出力的定量的
定义，以及如何从动力学的角度来定义力。另一方面，质量的粗浅
概念也早就有了，问题同样是：什么是质量？并未解决。也曾有过各
式各样的有关质量的定义。例如，有的定义是：质量是物体所含
% 092.jpg
“物质的量”然而，这种定义没有物理的价值。因为，什么叫“物质
的量”？仍然是不确定的。在物理学中，一个物理量的定义，必
须提供根据其他能够量度的量来计算它的一套规则。根据这个原
则，在牛顿第二定律的范围中，可以对质量及力作如下的定义：

质量就是质点所受外力与所产生的加速度之比。

作用在一个质点上的力就是它的质量乘由于该力所产生的加
速度。

看到这两条“定义”，读者一定会纳闷，这两条说法岂不就
是式\eqref{eqn:03.02.01}的改头换面吗？这样一来，作为定律的式\eqref{eqn:03.02.01}岂
不降为关于质量或力的定义？似乎出现了逻辑上的“混乱”。

如果离开上述的物理定义的原则，确实总逃不脱这个“混
乱”。但是，从物理上来说，它是不混乱的。物理规律的作用在
于把许多已知的实验结果统一起来，联系起来，给出许多实验现
象的统一的解释，并且根据这种解释去预测一些新的现象或实验
结果。也就是说，物理学规律的意义，是使我们能够从一些实验结
果出发预言另一些新的实验结果，确立从一些实验数据计算出(或
预言出)另一些实验数据的规则。只要定义、定律确立的联系测
量数据的规则是明确的、不含糊的，那就没有任何“混乱”可
言。牛顿第二定律\lbr \eqref{eqn:03.02.01}\rbr 及质量和力的定义在这种意义上是
没有任何“混乱”的。

举例说明。如图\ref{fig:03.02}所示，在一足够光滑的固定桌面上，我们

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \hfill
  \subfigure[]{
    \label{fig:03.02a}
    \includegraphics{figure/fig03.02a}
  }
  \hfill
  \subfigure[]{
    \label{fig:03.02b}
    \includegraphics{figure/fig03.02b}
  }
  \hfill
  \subfigure[]{
    \label{fig:03.02c}
    \includegraphics{figure/fig03.02c}
  }
  \hfill
  \caption{牛顿第二定律的含义}
  \label{fig:03.02}
\end{figure}
% 093.jpg
\clearpage
\noindent 做三个实验。其一，物体$ A $与一弹簧相连，把弹簧拉长到$ L $，然后
释放物体$ A $，在弹簧的牵动下，$ A $作加速运动，测量出开始时刻的
加速度$ a_A $；其二，用上述弹簧与物体$ B $相连，仍拉长到$ L $，测出
释放时刻的加速度$ a _ { B } $； 其三，仍是上述弹簧，拉长到$ L $，和捆在
一起的$ A $，$ B $相连，测出释放时刻的加速度$ a _ { A B } $。

上述三个实验，只用了运动学的概念，测得了一组数据，如
果没有其他知识，我们就不能得到更多的东西。现在，我们看如
何用动力学来得到的测量量$ a_A $，$ a_B $，$ a_{AB} $之间的联系。

我们可以取物体$ A $的质量作为质量单位的标准，故可任意定
其数值为$ m_A $，利用式\eqref{eqn:03.02.01}作为力的定义，再由实验\subref{fig:03.02a}测得
的$ a $即可算出弹簧对$ A $的牵动力
\begin{equation}\label{eqn:03.02.02}
  F = m _ { A } a _ { A }
\end{equation}

在实验\subref{fig:03.02b}中，设弹簧对$ B $的牵动力与牵动$ A $时一样，仍为$ F $，
则利用式\eqref{eqn:03.02.01}作为质量的定义，可算出$ B $的质量
\begin{equation}\label{eqn:03.02.03}
  m _ { B } = \frac { F } { a _ { B } }
\end{equation}

在实验\subref{fig:03.02a}中，如果假设$ A $与$ B $在一起的质量$ m_{AB} $是分别质量
之和(即质量是可加的)：
\begin{equation}\label{eqn:03.02.04}
  m _ { A B } = m _ { A } + m _ { B }
\end{equation}

再假定牵动力依然是F，就可以用式\eqref{eqn:03.02.01}作为定律，来预
言此时的加速度$ a_{AB} $为
\begin{equation}\label{eqn:03.02.05}
  a _ { A B } = \frac { F } { m _ { A B } } = \frac { F } { m _ { A } + m _ { B } } = \frac { a _ { A } a _ { B } } { a _ { B } + a _ { A } }
\end{equation}

我们注意到，式\eqref{eqn:03.02.05}中只含有实验直接可测的量(与我们
任意取定$ m_A $值无关)，亦即牛顿第二定律给出了从一组实验\lbr \subref{fig:03.02a}，\subref{fig:03.02b}\rbr 的数据计算另一实验\lbr \subref{fig:03.02c}\rbr 的规则。如果这样计算出来的结果
与观测值符合，就为牛顿第二定律的正确性提供了一个实验验证。
这样一个理论与实验之间的全面关系告诉我们什么呢？

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(1) 在整个分析过程中，我们的确有时将式\eqref{eqn:03.02.01}作为定义
使用，有时又作为定律，但在每个具体环节上它的作用都是明确
的，并没有同时既作定义，又作定律的情况，因而是不“混乱”
的。理论与实验之间由一些测量操作联系着，由此就不难理解式
\eqref{eqn:03.02.01}既是定义又是定律、“身兼两任”的实质。

(2) 式\eqref{eqn:03.02.05}中都是实验可以直接测定的量，也就是说，由
式\eqref{eqn:03.02.01}所给出的预言是明确的，具有可验证性或可否证性。

(3) 物理学的规律，例如牛顿第二定律，都有一定的适用限
度。在限度之外，牛顿第二定律不再成立。在牛顿第二定律不适
用的范围，用它来预言实验就不再正确，因而这时用它来作为定
义也就没有意义了。或者说，当式\eqref{eqn:03.02.01}作为定律不再适用时，
用它作为力及质量的定义就也不适用了。上述力及质量的定义也
有其适用限度。这种“定义”显然与数学中所用定义的含义有很
大差别。

(4) 只依靠牛顿第二定律来分析运动性质，还是不够的，必须
扩充其他假定，才有可能预测运动。在上例中，不仅用了式\eqref{eqn:03.02.01}，
而且用了两个假定：弹簧被拉长到同样的长度时产生同样
的牵动力F；质量具有可加性。这个特点也与数学不相同。数学
上的已知到求证之间，只能使用定理、定义进行逻辑推理，不外
加其他东西。但物理上没有一个是如此。必定要补充一些外加的
假设，才能从已知测量中作出预言。外加的假设，反映了我们对
客观世界的看法，或者说是客观世界的一种模型。在什么地方应
当补充些什么，或者说用什么模型去看客观世界，这是物理的难
点，而这也正是物理学工作的精髓。

这样，我们就说明了牛顿第二定律既是动力学基本规律，同
时又可作为质量及力的定义的全部意义。当然，这并不排斥我们
去寻求不依赖于牛顿第二定律的关于质量及力的定义。但是，即
使我们找到了更深入的定义，那么在牛顿第二定律适用的范围内，
% 095.jpg
新的定义也必定等价于本节所述的定义。因此，在牛顿第二定律
适用的范围中，采用上述定义不仅是正确的，而且是“够用”的
了。

按式\eqref{eqn:03.02.01}，力是一个矢量，它的合成、分解遵守矢量代数
运算法则。质量是一个标量。

式\eqref{eqn:03.02.01}是一个矢量方程，它等价于三个分量方程：
\begin{equation*}
  F = m a _ { x } \quad F _ { y } = m a _ {y} \quad F _ { z } = m a_ { z }
\end{equation*}

质量的单位是千克，千克的标准是保存在国际计量局中的一
个铂铱圆柱体。在原子尺度上，利用原子质量单位，用$^{12}$C作它
的标准，国际协议规定$^{12}$C的原子质量精确地等于12个原子质量
单位。原子质量单位与千克的关系是：
\begin{equation*}
  1\text{ 原子质量单位} = \num{1.6605655e-27}\text{ 千克}
\end{equation*}
力的单位是牛顿，一牛顿力使质量为一千克的物体产生$1\text{米/秒}^2$
的加速度。
